Leonas Apšega gimė 1940 metų gruodžio 10 dieną Kupiškio rajone, Šimonių parapijoje, Kinderių kaime, valstiečių šeimoje. Tėvas Kazimieras Apšega ir motina Ona Žiūkaitė-Apšegienė turėjo gerą ūkį, išaugino ir išleido į gyvenimą penkis vaikus.

Leonas Apšega 1947 metais pradėjo lankyti Gaigalių pradinę mokyklą. Vidurinį išsilavinimą įgijo Šimonių mokykloje, kurią baigė 1959 metais.

Toliau mokėsi Panevėžio hidromelioracijos technikume, kurį baigė  1962 metais. Mokslus tęsė  Lietuvos žemės ūkio akademijoje, studijas baigė 1987 metais  ir  įgijo  inžinieriaus hidrotechniko specialybę.

1962–1963 metais dirbo Vievio rajono melioracijos montavimo valdyboje meistru. Jam vadovaujant sutvarkyti tuometinio kelio (dabar autostrada Vilnius-Kaunas) pakelės laukai nuo Vievio iki Elektrėnų. 1963–1966 metais tarnavo tarybinėje armijoje. 1966–1968 metais dirbo Kupiškio rajono Skodinio tarybiniame ūkyje inžinieriumi, 1968–1987 m. šio rajono „Tiesos“ ir Žaidelių kolūkių valdybos pirmininku. 1987–1990 m. – Kupiškio rajono tarybos Vykdomojo komiteto pirmininko pirmuoju pavaduotoju, Žemės ūkio valdybos viršininku, 1990–1995 m. – rajono valdytojo pirmuoju pavaduotoju – Žemės ūkio valdybos viršininku.

1990 metais išrinktas Lietuvos Respublikos Aukščiausiosios Tarybos-Atkuriamojo Seimo nariu.

1995–1997 metais dirbo Akcinio inovacinio banko Kupiškio skyriaus direktoriumi.

1997–2007 metais Kupiškio rajono meras.

Ilgametis Kupiškio rajono savivaldybės tarybos narys.

Nuo 1994 metų Lietuvos valstiečių partijos narys, nuo 2001 metų Valstiečių ir Naujosios demokratijos partijų sąjungos narys, nuo 2008 metų Lietuvos valstiečių liaudininkų sąjungos narys, nuo 2008 metų Lietuvos valstiečių ir žaliųjų sąjungos narys.

Apdovanotas Lietuvos Nepriklausomybės medaliu (2000) ir Didžiojo Lietuvos kunigaikščio Gedimino ordino Karininko kryžiumi (2004).

Yra paskelbęs straipsnių žemės ūkio klausimais.

Vedęs, turi žmoną Palmirą Balaišytę-Apšegienę ir du sūnus – Virginijų ir Audrių.

Hobis: medžioklė, politika, kelionės.